Vertex centred Discretization of Two-Phase Darcy flows on General Meshes

This paper concerns the discretization of multiphase Darcy flows, in the case of heterogeneous anisotropic porous media and general 3D meshes used in practice to represent reservoir and basin geometries. An unconditionally coercive and symmetric vertex centred approach is introduced in this paper. This scheme extends the Vertex Approximate Gradient scheme (VAG), already introduced for single phase diffusive problems in [9], to multiphase Darcy flows. The convergence of the VAG scheme is proved for a simplified two-phase Darcy flow model, coupling an elliptic equation for the pressure and a linear hyperbolic equation for the saturation. The ability for the VAG scheme to efficiently deal with highly heterogeneous media and complex meshes is exhibited on immiscible and miscible two phase Darcy flow models. Résumé. Cet article porte sur la discrétisation des flux de Darcy polyphasiques au sein de milieux poreux hétérogènes et anisotropes, dans des maillages tridimensionnels généraux utilisés dans le contexte de la simulation de réservoir ou de bassin. Un schéma avec inconnues aux sommets [9], qui a l’avantage d’être inconditionnellement coercif et symétrique, est généralisé au cas des écoulements de Darcy polyphasiques. La convergence du schéma est démontrée sur un modèle diphasique simplifié, couplant une équation elliptique pour la pression à une équation hyperbolique linéaire pour la saturation. On illustre ensuite la capacité du schéma à prendre en compte efficacement les fortes hétérogénéités et les maillages complexes sur des exemples d’écoulements diphasiques immiscibles et miscibles.